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lunes 20 de noviembre de 2017

Blog

Blog del profesor

Añadido el 16 de febrero de 2009
Autor:Antonio González Campaña
Centro:Simienza
Localidad:Tomelloo (Ciudad Real)

Listado de entradas

  • Añadido el 16 de octubre de 2012

    FI en la Naturaleza
    Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.

    La Espiral Logarítmica
    Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.



    Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
    La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.


    En el Hombre


    Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.



    En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.

    Genealogía
    El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.



    Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

    Botánica
    La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.



    La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.



    Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el numero de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por Fn el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo Fn/Fn+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F4/F6.



    Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
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  • Por cuarta vez se celebra el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot. Hasta su fallecimiento el 14 de Octubre de 2010 Benoit Mandelbrot presidió y colaboró activamente con el concurso que lleva su nombre.

    Esta edición estará dedicada a su memoria. Será difícil llenar el espacio que dejó Benoit pero su viuda, Aliette Mandelbrot y el científico Michael Barnsley han accedido a ser los presidentes honoríficos del concurso.

    La fecha límite para la recepción de trabajos es el 15 de septiembre de 2011. Puede encontrarse más información en la página web del concurso:

    leer entrada de origenEste enlace se abrirá en una ventana nueva.
  • Añadido el 10 de marzo de 2011

    La criptografía asimétrica es el método criptográficoEste enlace se abrirá en una ventana nueva que usa un par de claves para el envío de mensajes. Las dos claves pertenecen a la misma persona a la que se ha enviado el mensaje. Una clave es pública y se puede entregar a cualquier persona, la otra clave esprivada y el propietario debe guardarla de modo que nadie tenga acceso a ella. Además, los métodos criptográficos garantizan que esa pareja de claves sólo se puede generar una vez, de modo que se puede asumir que no es posible que dos personas hayan obtenido casualmente la misma pareja de claves. Si el remitente usa la clave pública del destinatario para cifrar el mensaje, una vez cifrado, sólo la clave privada del destinatario podrá descifrar este mensaje, ya que es el único que la conoce. Por tanto se logra la confidencialidad del envío del mensaje, nadie salvo el destinatario puede descifrarlo.

    Si el propietario del par de claves usa su clave privada para cifrar el mensaje, cualquiera puede descifrarlo utilizando su clave pública. En este caso se consigue por tanto la identificacióny autentificación del remitente, ya que se sabe que sólo pudo haber sido él quien empleó su clave privada (salvo que alguien se la hubiese podido robar). Esta idea es el fundamento de la firma electrónicaEste enlace se abrirá en una ventana nueva.

    Los sistemas de cifrado de clave pública o sistemas de cifrado asimétricos se inventaron con el fin de evitar por completo el problema del intercambio de claves de los sistemas de cifrado simétricosEste enlace se abrirá en una ventana nueva. Con las claves públicas no es necesario que el remitente y el destinatario se pongan de acuerdo en la clave a emplear. Todo lo que se requiere es que, antes de iniciar la comunicación secreta, el remitente consiga una copia de la clave pública del destinatario. Es más, esa misma clave pública puede ser usada por cualquiera que desee comunicarse con su propietario. Por tanto, se necesitarán sólo n pares de claves por cada n personas que deseen comunicarse entre sí.

    Los sistemas de cifrado de clave pública se basan en funciones-trampaEste enlace se abrirá en una ventana nueva de un solo sentido que aprovechan propiedades particulares, por ejemplo de los números primosEste enlace se abrirá en una ventana nueva. Una funciónEste enlace se abrirá en una ventana nueva de un solo sentido es aquella cuya computaciónEste enlace se abrirá en una ventana nueva es fácil, mientras que su inversión resulta extremadamente difícil. Por ejemplo, es fácil multiplicar dos números primosEste enlace se abrirá en una ventana nueva juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil factorizarEste enlace se abrirá en una ventana nueva uno compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, si tenemos un número compuesto por dos factores primos y conocemos uno de los factores, es fácil computar el segundo.

    Bases

    Dado un cifrado de clave pública basado en factorización de números primos, la clave pública contiene un número compuesto de dos factores primos grandes, y el algoritmoEste enlace se abrirá en una ventana nueva de cifrado usa ese compuesto para cifrar el mensaje. El algoritmo para descifrar el mensaje requiere el conocimiento de los factores primos, para que el descifrado sea fácil si poseemos la clave privada que contiene uno de los factores, pero extremadamente difícil en caso contrario.


    Descripción

    Las dos principales ramas de la criptografía de clave pública son:

    • Cifrado de clave pública— un mensaje cifrado con la clave pública de un destinatario no puede ser descifrado por nadie, excepto un poseedor de la clave privada correspondiente--presumiblemente, este será el propietario de esa clave y la persona asociada con la clave pública utilizada. Se utiliza para confidencialidad.

    • Firmas digitales— un mensaje firmado con la clave privada del remitente puede ser verificado por cualquier persona que tenga acceso a la clave pública del remitente, lo que demuestra que el remitente tenía acceso a la clave privada (y por lo tanto, es probable que sea la persona asociada con la clave pública utilizada) y la parte del mensaje que no se ha manipulado. Sobre la cuestión de la autenticidad.

    Una analogía con el cifrado de clave pública es la de un buzón con una ranura de correo. La ranura de correo está expuesta y accesible al público; su ubicación (la dirección de la calle) es, en esencia, la clave pública. Alguien que conozca la dirección de la calle puede ir a la puerta y colocar un mensaje escrito a través de la ranura; sin embargo, sólo la persona que posee la clave puede abrir el buzón de correo y leer el mensaje.

    Una analogía para firmas digitales es el sellado de un envolvente con un personal, sello de cera. El mensaje puede ser abierto por cualquier persona, pero la presencia del sello autentifica al remitente.

    Un problema central para el uso de la criptografía de clave pública es de confianza (idealmente prueba) que una clave pública es correcta, pertenece a la persona o entidad que afirmó (es decir, es «auténtico») y no ha sido manipulado o reemplazados por un tercero malintencionado. El enfoque habitual a este problema consiste en utilizar una infraestructura de clave pública (PKI), en la que una o más terceras partes, conocidas como entidades emisoras de certificados , certifican la propiedad de los pares de claves. Otro enfoque, utilizado por PGP , es la " web de confianza ", método para asegurar la autenticidad de pares de clave

    Seguridad

    Como con los sistemas de cifrado simétricos buenos, con un buen sistema de cifrado de clave pública toda la seguridad descansa en la clave y no en el algoritmo. Por lo tanto, el tamaño de la clave es una medida de la seguridad del sistema, pero no se puede comparar el tamaño de la clave del cifrado simétricoEste enlace se abrirá en una ventana nueva con el del cifrado de clave pública para medir la seguridad. En un ataque de fuerza brutaEste enlace se abrirá en una ventana nueva sobre un cifrado simétrico con una clave del tamaño de 80 bitsEste enlace se abrirá en una ventana nueva, el atacante debe probar hasta 280-1 claves para encontrar la clave correcta. En un ataque de fuerza bruta sobre un cifrado de clave pública con una clave del tamaño de 512 bits, el atacante debe factorizar un número compuesto codificado en 512 bits (hasta 155 dígitos decimalesEste enlace se abrirá en una ventana nueva). La cantidad de trabajo para el atacante será diferente dependiendo del cifrado que esté atacando. Mientras 128 bits son suficientes para cifrados simétricos, dada la tecnología de factorización de hoy en día, se recomienda el uso de claves públicas de 1024 bits para la mayoría de los casos.

    Ventajas del cifrado asimétrico

    La mayor ventaja de la criptografía asimétrica es que se puede cifrar con una clave y descifrar con la otra, pero este sistema tiene bastantes desventajas:

    Para una misma longitud de clave y mensaje se necesita mayor tiempo de proceso.

    Las claves deben ser de mayor tamaño que las simétricas.

    El mensaje cifrado ocupa más espacio que el original.

    El sistema de criptografía de curva elípticaEste enlace se abrirá en una ventana nueva representa una alternativa menos costosa para este tipo de problemas.

    Herramientas como PGPEste enlace se abrirá en una ventana nueva, SSHEste enlace se abrirá en una ventana nueva o la capa de seguridad SSLEste enlace se abrirá en una ventana nueva para la jerarquía de protocolos TCP/IPEste enlace se abrirá en una ventana nueva utilizan un híbridoEste enlace se abrirá en una ventana nueva formado por la criptografía asimétrica para intercambiar claves de criptografía simétrica, y la criptografía simétrica para la transmisión de la información.

    leer entrada de origenEste enlace se abrirá en una ventana nueva.
  • Añadido el 21 de febrero de 2011
    Foto: UPCT

    MURCIA, 20 Sep. (EUROPA PRESS) -
    Hacer más fiables los sistemas matemáticos en los que se basan las predicciones meteorológicas o los modelos que analizan los sistemas económicos es uno de los objetivos del congreso organizado por el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT), que esta semana reúne en el hotel Galúa de La Manga a un centenar de expertos de reconocido prestigio nacional e internacional.

    Así, el XIV Encuentro 'Czech-Solvak-Spanish Workshop on Discrete Dynamical Systems', que se desarrollará hasta el próximo viernes, analiza la teoría del caos, una de las más conocidas de los llamados sistemas dinámicos.

    En concreto, según fuentes de la institución docente, se analizan las herramientas matemáticas que miden la caoticidad de un sistema, como por ejemplo el modelo de Lorenz, que sirve para predecir el tiempo y que está expuesto a variables tan cambiables como la presión atmosférica o la velocidad del viento.

    En este sentido, el profesor Miguel Ángel López Guerrero, de la Universidad de Castilla-La Mancha, destaca que las matemáticas "están cada vez más volcadas en las aplicaciones prácticas y en dar respuesta a los problemas reales".

    Tendencia ésta, ha añadido, que "tiene que ir acompañada desde el punto de vista docente de un esfuerzo para hacerlas más atractivas para los alumnos". "Tenemos que incidir en las aplicaciones reales que las matemáticas tienen en la vida para que sean más interesantes para los estudiantes", ha incidido.

    Igualmente, en el encuentro se va a homenajear al profesor de la Universidad de Murcia, Francisco Balibrea, "un precursor en el estudio en España de los sistemas dinámicos y que ha contribuido a colocarnos en el panorama internacional", según explica el profesor de la UPCT y director del Congreso, Juan Luis García Guirao.

    Al hilo, Balibrea destaca la importancia de este congreso como una oportunidad única de compartir conocimientos, ya que "en 20 años, España ha pasado de aportar un 1 por ciento de producción mundial en matemáticas a hacerlo en la actualidad en un 4 por ciento, por lo que se va hacia arriba y ahora es el momento de mejorar la calidad de las matemáticas que se hacen en España".

    En su opinión, la Universidad Politécnica de Cartagena "está aportando un valor fundamental en el desarrollo de numerosas áreas científicas, técnicas y matemáticas; y ese hecho se constata en que está ascendiendo de forma muy rápida en los rankings mundiales de universidades".

    La mayoría de los expertos que participan en el congreso procede de Estados Unidos, China, Australia, Alemania, Francia, Reino Unido, Israel y Eslovaquia, entre otros países.

    Entre los ponentes se encuentra M. Misiurewicz, de Indianapolis (USA), una de la autoridades mundiales en entropía topológica, es decir, una medida que se usa para discernir si un sistema tiene un comportamiento complejo o no; así como A.N. Sharkosvkii, autor del célebre de Teorema de Sharkovskii sobre coexistencia de ciclos. Este matemático ucraniano ideó un nuevo orden en el conjunto de los números naturales de modo que si un sistema tiene un período también tiene períodos en el sentido del orden.

    leer entrada de origenEste enlace se abrirá en una ventana nueva.
  • "La familia no es un obstáculo para las mujeres matemáticas", fue el titular con que los periodistas indios presentaron a la recién nombrada presidenta de la Unión Matemática Internacional, la belga Ingrid Daubechies, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado el mes pasado en Hyderabad (India). Daubechies, de 56 años, física de formación y la primera catedrática de Matemáticas en la Universidad de Princeton (EE UU), no cree que esa afirmación sea una obviedad. "Las mujeres matemáticas son todavía demasiado pocas. A muchas matemáticas jóvenes les preocupa que su trabajo sea incompatible con tener una familia. Y esto pasa no solo en India, también en Estados Unidos", dice.

    Daubechies ocupará su nuevo cargo en enero, y lo desempeñará cuatro años. Entre sus varios galardones cuenta con el de la Academia Nacional de Ciencias estadounidense en Matemáticas, y es también la primera mujer en recibirlo. Estudió primaria en un colegio femenino. "Por eso -dice ella- nunca sentí que se esperaba que los niños fueran mejores que las niñas en ciencias". A los ocho años, para dormirse, calculaba potencias de dos: "Me fascinaba lo rápido que crecían los números".

    Pregunta. En el congreso de Hyderabad muchas personas, sobre todo mujeres indias, querían sacarse fotos con usted. ¿Se ha convertido en un icono?

    Respuesta. Bueno, eso me pasa también en Estados Unidos. Espero animar a más mujeres para que estudien matemáticas. Porque es muy divertido, y porque no se me ocurre ninguna razón por la que la diferencia entre hombres y mujeres en matemáticas deba mantenerse. Cuanto más visibles sean las mujeres matemáticas, más mujeres jóvenes estudiarán la carrera.

    P. Usted destaca que los matemáticos son "gente normal".

    R. Mucha gente cree que si te gustan las matemáticas eres un raro, un mutante... Quiero mostrar a los jóvenes que no es así. Muchas personas disfrutan con el pensamiento matemático aunque no sean matemáticos, igual que muchas disfrutan con el deporte aunque no sean deportistas de élite. Realmente, los humanos estamos siempre haciendo razonamientos lógicos: si esto está bien, esto también debe estarlo... O, por ejemplo, si a un niño de 13 años le explicas una regla, inmediatamente él se pondrá a buscar una excepción. Eso es razonamiento matemático. No deberíamos tenerle miedo.

    P. ¿Es un tema de investigación si el cerebro de las mujeres es mejor o peor para las matemáticas?

    R. Yo creo que no, pero hay médicos, psicólogos y sociólogos que opinan lo contrario. Creo que tienen una idea completamente equivocada de lo que son las matemáticas. En matemáticas trabajamos juntos, discutimos las cosas hasta que las entendemos y luego las escribimos con un lenguaje eficiente y preciso. Las matemáticas lo que son es una forma de resolver problemas.

    P. Usted hace matemática aplicada. ¿Puede poner ejemplos de su trabajo?

    R. Ahora mismo colaboro con historiadores de arte usando técnicas matemáticas de análisis de imágenes. Uno de mis estudiantes trabaja con un experto en la restauración de un Gauguin. La obra ha sido restaurada en otras ocasiones y hay pintura depositada en las irregularidades de la tela. Nuestra técnica ha mostrado al restaurador cómo quedaría la obra sin ese exceso de pintura, y él está encantado. También estamos ayudando a otro historiador que estudia los trazos que los maestros del XVI, o sus ayudantes, hacían bajo la pintura. Es muy interesante. Mis doctorandos manejan datos de obras de Gauguin, o de Van Gogh...

    P. ¿Cómo le llegan esos problemas?

    R. Bueno, me encanta aprender hablando de todo con la gente. De vez en cuando haces conexiones y surgen temas interesantes.

    P. Usted es experta en wavelets, una herramienta usada en el extendido formato informático de imágenes JPEG. ¿Qué son las wavelets?

    R. Son una manera de descomponer algo en componentes más simples. Imagine que queremos pintar una acuarela. Con un pincel de trazo grueso pintamos un fondo; con otro más fino pintamos detalles, y cuanta más precisión queremos, más fino es el pincel. Es decir, en general no uso el pincel fino para pintar el fondo, porque es un esfuerzo innecesario. Las wavelets son la manera matemática de hacer esto; solo uso las herramientas finas, más costosas, para los detalles finos.

    P. ¿Qué planes tiene para la Unión Matemática Internacional (IMU)?

    R. La IMU es cada vez más activa en la ayuda a los países en vías de desarrollo. También en educación, y en esto vivimos ahora una crisis. En Europa y en EE UU faltan matemáticos para la enseñanza, así que la tarea recae en profesores que no han sido entrenados en matemáticas y a los que puede que ni les gusten. Y si has aprendido matemáticas como un mal necesario, realmente no eres la persona más adecuada para transmitir a los niños el gusto por ellas.

    P. ¿Cómo es de grave la crisis?

    R. Está empeorando, el número de estudiantes de matemáticas ha bajado mucho. Y es grave a todos los niveles, porque una mala enseñanza de las matemáticas en el colegio afecta a la siguiente generación de científicos. Últimamente las matemáticas en primaria y secundaria se basan mucho en la técnica, en fórmulas, y en pedir a los chicos que en cierto modo suspendan su pensamiento crítico. Se les dice: "Simplemente aprende esto, ya descubrirás para qué sirve". Así no se motiva a la gente.

    P. ¿Cómo piensa abordar el problema?

    R. Un objetivo es conectar a los profesores de Matemáticas con los investigadores. Creo que muchos no estudian matemáticas porque piensan que se convertirán en profesores y perderán el contacto con las matemáticas, que es lo que les gusta. Voy a tratar de evitarlo.

    P. ¿Cómo fue elegida?

    R. Hay un comité en la IMU que se reúne y propone candidatos. También, cada país miembro de la unión puede hacer propuestas. A mí la propuesta me llegó en un buen momento, porque mis hijos ya están en la universidad y tengo más tiempo para viajar.

    P. No es habitual que alguien cuente que pensó en sus hijos a la hora de aceptar un cargo.

    R. Bueno, cuanta más gente vea que los matemáticos pueden tener una jornada laboral de ocho horas y niños a su cargo, mejor.

    P. ¿Trabaja usted ocho horas?

    R. Yo procedo del sector industrial, de los Laboratorios Bell, y ahí era estricta con mi tiempo de trabajo. Cuando me ofrecieron ir a Princeton expliqué que mi tiempo después de las seis lo dedicaba a mis hijos, simplemente. Y por la noche estaba cansada. Aceptaron. Ahora bien, para investigar en matemáticas necesitas bloques de tiempo prolongados para pensar; si lo que tienes son 10 minutos cada 20 de trabajo, entonces no se puede.

    ElPais.com
    MÓNICA SALOMONE - Hyderabad - 08/09/2010

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  • Añadido el 18 de febrero de 2010
    La última del tándem Amenábar/Gil es un poliédrico mosaico que abarca distintas facetas de la existencia del ser humano. Así lo han recogido diversos medios de comunicación, aunque la mayoría incide en el análisis de las históricas, políticas, religiosas, sociales y cinematográficas, pasando por alto uno de los temas más relevantes (si no el que más) que afronta el film: el científico. Tampoco los numerosos blogs de la Red abordan este aspecto, salvo unos pocos claramente orientados a la divulgación científica. La sociedad actual vive deprisa, consume y fagocita todo sin reservar un instante para la reflexión y el aprendizaje. Por eso cuando surge alguna propuesta medianamente racional, que intente recordarnos lo que somos en realidad, mal que nos pese, no se debe dejar pasar la oportunidad de destacarla y, si es posible, aprender disfrutándola.
    Uno de los aspectos que más llaman la atención (el que esto escribe lleva varios años rastreando la pista de contenidos matemáticos de alguna relevancia en el cine comercial que puedan ser utilizados en el desarrollo docente de nuestras clases) es la magnífica documentación científica de la película. No se ha limitado a un breve comentario superficial como hace la mayoría, aún a riesgo de ahuyentar la audiencia. Y además del rigor lo han hecho con inteligencia y vistosidad.
    Poco se conoce de la Hipatia real, pero está casi todo. Sabemos de su fama de erudita y excelente comunicadora. Las crónicas indican que llegaban personas de lugares muy lejanos a Alejandría a escucharla y aprender de su maestría. Varias escenas, entre ellas la que abre la película, así nos la muestran, enseñando no sólo Astronomía, Física o Matemáticas, sino también el ideal neoplatónico cargado de tolerancia, independencia y antidogmatismo (no deja de ser paradójico que con el tiempo el cristianismo recogiera en su doctrina un montón de ideas neoplatónicas): “¿Recuerdas la primera regla de Euclides (en su obra los Elementos)? Si dos cosas son iguales a una tercera, todas son iguales entre sí. ¿Y no sois ambos semejantes a mí? […] Quiero deciros esto a todos los que estáis en esta habitación: Es más lo que nos une que lo que nos separa. Y pase lo que pase en las calles, somos hermanos. Somos hermanos”. Hipatia no discriminaba a nadie que tuviera deseos de aprender admitiendo a todos, incluso a los esclavos, como se pone de manifiesto en varios momentos de la película.
    La destrucción de la Biblioteca de Alejandría (por segunda vez, no lo olvidemos) fue la causa inmediata de la pérdida de la mayor parte del conocimiento de la Antigüedad. Nunca en la Historia ha existido otra ciudad que haya sido el centro de la actividad matemática durante un periodo tan largo (desde Euclides, 300 a.C. hasta la muerte de Hipatia, 415 d.C.). Y no sólo matemática. Era una ciudad donde griegos, egipcios, árabes, sirios, hebreos, persas, nubios, fenicios, romanos, galos e íberos intercambiaban mercancías e ideas. Carl Sagan indica que allí es donde la palabra cosmopolita, ciudadano del Cosmos, adquirió su pleno significado. Sin embargo sólo una élite estaba al tanto de los descubrimientos que los investigadores de aquella Biblioteca hacían. En la película, Hipatia y sus discípulos están muy preocupados por salvar de la destrucción la mayor cantidad posible de obras. No conocemos a ciencia cierta si esta fue una de sus preocupaciones, pero lo que es seguro es que, en la actualidad, si conocemos algunas obras de autores clásicos es precisamente gracias a Teón y, presumiblemente, a su hija Hipatia.
    El último tratado matemático antiguo verdaderamente importante es la denominada Colección de Pappus. Se siguieron escribiendo textos pero apenas si aportaban ideas nuevas. Precisamente Pappus comenzó la moda de los Comentarios, que no eran sino recopilaciones y aclaraciones de obras clásicas, explicadas más llanamente con demostraciones detalladas, como los actuales manuales para estudiantes, algunos de los cuales también incluían resultados novedosos. De Hipatia nos han llegado referencias, traducciones o copias manuscritas de siglos posteriores de sus Comentarios al Almagesto de Ptolomeo, a las Cónicas de Apolonio, a los Elementos de Euclides, y a la Aritmética de Diofanto.
    Salvo de esta última, de todas hay referencias en la película: la explicación del sistema ptolemaico, e incluso una recreación que construye el esclavo Davo, además de la comprobación junto a su padre de los datos de las conocidas como Tablas Manuales incluidas en el Almagesto; las citas a las cónicas (“curvas impuras”, denominadas así en oposición a su ideal, el círculo), otro instrumento didáctico, el cono de Apolonio, en el que se muestran el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola, así como el trazado sobre la arena de una elipse conocidos los focos corresponderían al segundo de los tratados mencionados; y finalmente la mencionada escena del “Somos hermanos” sobre el libro de Euclides. De haber incluido algo sobre la obra de Diofanto se habría redondeado este apartado bibliográfico ya que la única referencia a esta importante obra que ha llegado a nuestros días es precisamente a través de copias de siglos posteriores del tratado de Hipatia. Tampoco aparecen sus contribuciones a otros mecanismos como el astrolabio o el hidroscopio.
    Las reseñas publicadas de la película nos familiarizan con personajes históricos, como la propia Hipatia, Teón, el patriarca Cirilo y el Prefecto Orestes; nos explican quiénes eran los monjes parabolanos, los paganos, Serapis y el Serapeo, la importancia del ágora… todo ello son referencias culturales interesantes. Pero ¿no tiene la misma importancia (o más porque siguen utilizándose esas ideas) los conceptos de elipse, las cónicas en general, o las interpretaciones primigenias del sistema solar como la de las esferas concéntricas, los epiciclos o los movimientos excéntricos? Todo eso se cita fenomenalmente en el film, pero pocos le dan la importancia que tiene a pesar de ser fácil de comprender a nivel divulgativo.
    Otra cosa sería pretender que todos los espectadores conocieran y manejaran las ecuaciones del movimiento circular o del cálculo de una órbita. No, no se trata más que de asimilar las ideas más sencillas en que se basan y entender a un nivel elemental cómo se comporta el mundo que nos rodea, y valorar en su justa medida el ingenio de los pensadores antiguos que no disponían de nuestros sofisticados aparatos, aunque sí del instrumento más perfecto que ha podido diseñar la mente humana: la lógica y las matemáticas.
    Si el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos (s. III a.C.) no prosperó (como también se menciona en el guión), fue precisamente por la falta de un modelo matemático consistente, además de la pérdida de sus trabajos en el primer incendio de la Biblioteca de Alejandría en época de Julio César. Hay indicios fundados de que Hipatia se interesó por ese sistema. La película va más allá y especula con que, sin tiempo para madurar y escribir sus descubrimientos, tuvieron que pasar mil años hasta que Copérnico y Kepler redescubrieran sus ideas. Ficción científica no comprobada, pero nada descabellada. Ojalá el cine fuera tan cauto siempre.
    Sobre si la película es buena, regular o mala habrá mil opiniones, todas respetables. Es probable que en determinados momentos le falte ritmo (porque el impuesto inicialmente es frenético), que se abuse de los planos aéreos y los movimientos de cámara, que haya personajes poco aprovechados, etc., pero de lo que no cabe la menor duda es de que la realización técnica, el montaje, y sobre todo, la documentación en tantos y tan diferentes campos (Astronomía, Matemáticas, Historia, Religión, Física, Sociología, Política, la mujer en la Antigüedad, entre otros) ha sido magnífica. Cuando pasen un par de semanas y se haya diluido el boom mediático y publicitario, nos habrá quedado una perfecta ilustración de la ciencia y la sociedad en el mundo antiguo, y una honesta visión de lo que pueden provocar los momentos de crisis e incertidumbre unidos a la intolerancia, algo que Cecil B. de Mille siempre despreció porque su único objetivo era hacer caja y ser el más grande y glamouroso. En eso sí somos expertos, en la pluma y el glamour. Y así nos ha ido, y así nos va.
    Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez
    Artículo aparecido en el Blog para anti-matemáticosEste enlace se abrirá en una ventana nueva
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  • Con un ordenador doméstico se han calculado 2,7 billones de decimales

    ELPAÍS.com - Barcelona - 06/01/2010

    Con un ordenador doméstico, Fabrice Bellard Este enlace se abrirá en una ventana nuevaha establecido un nuevo récord en la computación de cifras del número PI. Concretamente ha calculado 2,7 billones de decimales. Lo más notable es que lo ha logrado con un ordenador doméstico que, según él mismo, le ha costado menos de 2.000 euros. El anterior récord, con cerca de 2,6 billones de decimales, lo consiguió en agosto del pasado año en Japón Daisuke Takahashi. Empleó 29 horas pero usó un superordenador. Bellard ha trabajado 131 días, pero con un ordenador doméstico. Bellard no está tan interesado en este récord como en el desarrollo de los algoritmos necesarios para este tipo de tareas. Bellard planea distribuir el programa con el que ha conseguido el récord.

    Según detalla Bellard, la computación binaria le tomó 103 días y su verificación, 13. Luego realizó la conversión a base 10 y su la verificación le ocupó el resto.

    Sólo en el caso de la verificación empleó una red de nueve ordenadores domésticos durante 34 horas. Si lo hubiera hecho con el mismo ordenador (Intel Core i7 de 2.93 GHz, 6 GB de RAM y 5 discos duros de 1.5 terabytes) habría tardado 13 días más. El sistema operativo era Linux.

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  • Añadido el 11 de diciembre de 2009

    Científicos de la Politécnica descubren aplicaciones matemáticas para mejorar los diagnósticos médicos por imagen
    El hallazgo tiene dimensión internacional. Una investigación realizada en el campus de Gandia de la Universidad Politécnica, que arrancó con la tesis doctoral de un joven investigador, Samuel Morillas (Granada, 1979), ha establecido que la aplicación de dos herramientas matemáticas, en este caso la lógica y las métricas difusas, mejoran la calidad de las imágenes digitales que se utilizan en los diagnósticos médicos. En la práctica, esto supone mayor precisión y rapidez en el diagnóstico e, incluso, los responsables del hallazgo avanzan que el empleo de los algoritmos matemáticos en el procesamiento de imágenes servirá para desarrollar formas de diagnóstico por imagen "menos perjudiciales para el ser humano". Otras aplicaciones más prosaicas, pero igualmente relevantes, van en la línea de mejorar los procesos de restauración de fotografías o películas en formato digital.
    La tesis de Morillas, Métricas y lógica fuzzy para filtrado de imágenes en color, codirigida por el catedrático de Matemática Aplicada del campus de Gandia, Valentín Gregori, y el profesor titular de Ingeniería Gráfica de la Universidad Politécnica de Valencia Guillermo Peris, fue reconocida la mejor de 2007 en el área de matemáticas y ha sido difundida en una veintena de publicaciones científicas y revistas internacionales, lo que le valió a Morillas una beca de la Generalitat para complementar sus investigaciones en 2008. Y en los próximos dos años, a través de una beca de la Politécnica, desarrollará líneas de investigación, entre ellas la puesta a punto del software que permita la aplicación práctica del descubrimiento. Un paso adelante, aseguran, en el diagnóstico más preciso de enfermedades como el cáncer o el Alzheimer, al proporcionar a los médicos instrumentos de diagnóstico más rápidos y precisos. "Hasta que la tecnología, el hardware, se desarrolle lo suficiente, esperamos que los problemas se puedan paliar con nuestro sistema y con el software que estamos desarrollando", dice el investigador.
    "El problema es que la imagen digital puede perder calidad por muchos factores, caso del tiempo o porque fue tomada en un contexto poco favorable. Y las nuevas tecnologías de la imagen no están totalmente desarrolladas", explica Morillas. "La idea", prosigue, "es procesar la imagen para que todos esos defectos se vean atenuados a través de algoritmos implementados en base a herramientas matemáticas como la lógica difusa y la métrica difusa". Básicamente, dichas herramientas lo que consiguen es asignar un determinado grado de bondad a los píxeles para poder procesar la imagen "de forma suave" en vez de tratarla como un conjunto cerrado. "Hay conceptos de la vida diaria que no se pueden clasificar de forma drástica, como la juventud, que tiene una serie de grados. A este tipo de conceptos, en los que no hay una certeza, se les puede aplicar la lógica difusa", aclara Morillas.
    La bondad del descubrimiento reside en su aplicación práctica. Sin embargo, el joven investigador piensa que sin los avances previos, de carácter más teórico, ello no hubiera sido posible. "A veces se critica la investigación científica puramente teórica. Pero todo el desarrollo teórico previo ha llamado a que ahora se puedan hacer aproximaciones prácticas, útiles. Es un respaldo a la investigación teórica que se ha hecho años atrás", remarca.

    Xavier Aliaga (El País)

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  • Añadido el 18 de octubre de 2009
    Hipatia es conocida en ciertos círculos como la hija de Teón --un matemático astrónomo y astrólogo alejandrino del siglo IV-. Sin embargo, Hipatia debe ser tenida en cuenta por sí misma y no como la hija de alguien. Fue una científica prestigiosa, muy estimada entre el mundo académico de su tiempo. Algunos la han considerado la última de las científicas del mundo antiguo que desarrolló su talento en el terreno de las matemáticas. No desdeñó los conocimientos de astronomía y se sintió atraída por el platonismo, hasta el punto de impartir clases de filosofía.
    Desde hace años me interesaba su figura. Algunas referencias la presentaban como un arquetipo del clasicismo en el declinar del mundo antiguo, como una decidida defensora de la cultura grecorromana que, en su ciudad, se había combinado con elementos fundamentales de la civilización egipcia. Hipatia era un referente para quiénes rechazaban el dogmatismo que, en medio de grandes controversias, se imponía en el cristianismo al establecerse por aquellas fechas el canon del Nuevo Testamento en los concilios de Hipona y Cartago. Alejandría, la patria de Hipatia, se convirtió en uno de los centros neurálgicos de aquel debate teológico e ideológico. No en balde, allí era donde había sostenido sus planteamientos uno de los heresiarcas más importantes: Arrio, cuyas propuestas fueron condenadas en el concilio de Nicea donde fue pieza principal Osio, el titular de la sede episcopal cordobesa.
    Hipatia, cuya fecha de nacimiento de sitúa entre el 355 y el 370, se opuso dialécticamente a los planteamientos defendidos por los patriarcas de su ciudad. Se enfrentó a dos de ellos de gran proyección en su tiempo: Teófilo y a Cirilo, este último elevado más tarde a los altares y fueron monjes vinculados de su entorno quienes acabaron con su vida. La raptaron cuando, como una antigua matrona romana, paseaba en una litera, todo un desafío a la moralidad que el cristianismo trataba de imponer, al defender para la mujer un papel vinculado al hogar y sometida al marido. Le infligieron una terrible tortura, al hacerle incisiones en su cuerpo con conchas de mar afiladas hasta morir desangrada, después quemaron su cuerpo para que no quedase rastro material de su existencia. Lo que sus asesinos no pudieron borrar fue el valor de su obra científica.
    Sobre Hipatia y su penoso final cayó durante siglos un espeso manto de silencio. Para lo que denominamos la cultural occidental su figura no se recuperaría hasta el siglo XVIII. En el siglo XIX fue objeto de fuertes polémicas y de una notable atención literaria que dio, entre otros frutos, la obra de Charles Kingsley: «Hipatia». Recientemente la historiadora polaca Maria Dzielska ha escrito un interesante ensayo sobre la matemática alejandrina. Amenábar ha rodado una película anunciada como uno de los grandes estrenos de la temporada con el título de «Ágora». Somos numerosos los autores que hemos mostrado interés por la insigne científica, en estos días llega a las librerías la última de mis novelas: «El sueño de Hipatia» donde he recreado el ambiente histórico de la Alejandría en que ella vivió, así como las controversias que se produjeron en el seno del cristianismo, el mundo que emergía de su mano y los últimos estertores del mundo antiguo. No me he resistido -al fin y al cabo se trata de una novela- a trazar una trama de intriga relacionada con el descubrimiento, poco después de que terminase la Segunda Guerra Mundial, de los llamados manuscritos de Nag Hammadi, donde aparecen reflejadas las creencias de los gnósticos, una importante rama del cristianismo en la época en que vivió Hipatia.
    José Calvo Poyato
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  • Añadido el 27 de septiembre de 2009

    La formación inicial de los profesores de Enseñanza Secundaria y Bachillerato en España incluye desde hace muchos años un curso que conduce a la obtención del Certificado de Capacitación Pedagógica (CAP) que es requisito para presentarse a las oposiciones y para dar clase en centros educativos públicos, privados y concertados. El curso pretende dotar de conocimientos didácticos y metodológicos básicos a los licenciados en las distintas materias que van a ser profesores. Estos cursos, de mayor o menor duración y exigencia, según los organismos que los imparten, van a ser sustituidos en el año 2009/10 por el Master de Profesor de Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato, de acuerdo con la nueva estructura de las titulaciones universitarias como consecuencia del proceso de Bolonia.
    Con relación a la regulación por parte del Ministerio de Educación de los estudios conducentes a dicho título (ver la Orden Ministerial ECI/3858/2007) y de los múltiples debates que sobre este tema están teniendo lugar en la comunidad educativa, la Real Sociedad Matemática Española (RSME), integrada mayoritariamente por profesores de Matemáticas de todos los niveles educativos de Secundaria, Bachillerato y Universidad, quiere contribuir con este documento a las reflexiones encaminadas a encontrar el sistema más adecuado para la formación inicial específica de un graduado universitario que quiera optar a ser profesor de Matemáticas de Enseñanza Secundaria y Bachillerato.
    Manifestamos en primer lugar que un profesor de Matemáticas de Secundaria debe tener una buena formación tanto en los temas centrales de la disciplina que pretende enseñar como en cuestiones específicas que le ayudarán al desarrollo de su docencia. Así pues necesitará conocimientos básicos de Didáctica y Psicología enfocados a la enseñanza de adolescentes y también de aspectos metodológicos apropiados. No hay que olvidar tampoco la importancia de una formación que podríamos llamar “Matemáticas Elementales desde un punto de vista superior”, y que consiste en el estudio las áreas básicas de las Matemáticas desde una perspectiva avanzada y que al futuro profesor le proporcionan una visión de conjunto de las Matemáticas muy adecuada para que luego pueda organizar su docencia de manera coherente.
    En ese sentido creemos que la existencia de cursos como el que ahora se proponen es positiva. Ello no es óbice para que haya ciertos aspectos que, a nuestro juicio, deberían clarificarse. También procede comentar que no es la única posibilidad el hecho de que se le haya dado la forma de master a esta formación inicial. En varios países europeos con tradición educativa consolidada (Finlandia o Francia, por ejemplo) podemos comprobar que en los primeros cuatro años de estudios universitarios se incluye una buena parte o todo lo que aquí se va a trasladar al master. De hecho, el Libro Blanco para el Grado de Matemáticas apuntaba en esta dirección al sugerir que en los últimos años pudiese haber un grupo de asignaturas optativas conducentes a capacitar al graduado para ser profesor de Secundaria.
    Queremos también insistir en la idea de que el master que se pretende ofrecer debe tener un carácter interdisciplinar que haga posible la colaboración de profesores de Psicología, Didáctica General, Didáctica de las Matemáticas, todas las áreas de Matemáticas y de los profesores de Secundaria de Matemáticas en ejercicio, que aportan la experiencia diaria de la docencia a pie de aula y que deben participar en la buena planificación de las prácticas que se incluyan en el master. Las prácticas no sólo “quitan el miedo escénico”, sobre todo deben orientar al futuro docente para que sepa ofrecer a los alumnos una unidad coherente de aprendizaje a partir de toda la formación que ha recibido. La teoría alimenta la práctica y viceversa, de ahí la importancia del trabajo tutorial. Conseguir esta colaboración entre profesores diversos es un reto muy importante para las Comunidades Autónomas y las Universidades a la hora de establecer el proceso de planificación y desarrollo del master.
    Podemos sintetizar así nuestras reflexiones:

    1. Dada la particularidad y complejidad de la enseñanza de las Matemáticas, consideramos que dentro del master debe haber una especialidad de Matemáticas. A ella accederán graduados que puedan acreditar haber cursado en su titulación al menos 60 créditos de Matemáticas y otros 60 de Matemáticas o materias afines (Física, Informática, Estadística...) En caso contrario el acceso estaría condicionado a un examen o a que cursen unos complementos de formación indicados por la comisión responsable del master.
    2. Esta especialidad deberá ser requisito para que, una vez superado el master, el estudiante pueda concursar para obtener una plaza de profesor de Matemáticas en Enseñanza Secundaria y Bachillerato, ello garantizaría el nivel de conocimientos y formación adecuado. Sería conveniente por parte de las universidades facilitar la posibilidad de poder cursar sin emplear el doble de tiempo dos especialidades próximas, por ejemplo Matemáticas e Informática o Matemáticas y Física y Química.
    3. Aceptando la importancia de la innovación y de la iniciación a la investigación educativa como instrumentos de reflexión sobre la práctica educativa, consideramos que el núcleo central de la formación específica debe recaer en las competencias didácticas y disciplinares. Por ello, este master no puede ser competencia exclusiva de las Facultades de Educación. Es esencial la participación de las Facultades responsables de las distintas materias, en particular Matemáticas.
    4. La planificación adecuada de las prácticas es algo esencial para que se cumplan los objetivos del master. En este sentido la propuesta de Ministerio de Educación sobre la existencia de Centros de Prácticas y Tutores de prácticas nos parece acertada pero difícil de realizar si no hay un compromiso por parte de las Comunidades Autónomas de una financiación suficiente y de una reducción de horas lectivas al profesorado que vaya a dedicarse a las tutorías. ¿Cómo se va a preparar a los tutores? ¿Quién se va a encargar de esa formación? ¿Qué criterios se van a utilizar para la selección de centros de prácticas y tutores? Existen experiencias con buenos resultados en las que los “aspirantes a profesores” dan clases durante un año (al menos) en un centro, encargándose de sus correspondientes grupos de alumnos, aunque naturalmente, con unas horas de docencia reducidas para poder dedicar el resto del tiempo a la formación tutelada.
    5. Hay cierta preocupación en las universidades que ofrecen másteres y doctorados en Investigación matemática sobre el posible descenso del número de alumnos en estas enseñanzas ante la disyuntiva que se les puede presentar a los estudiantes que quieran asegurar la posibilidad de ser profesores de secundaria, bien porque les guste o bien porque ven difíciles otras salidas profesionales. El número de alumnos no suele ser alto y ahora podría decrecer si muchos estudiantes dan prioridad al master de profesor. De cara a buscar soluciones hay opiniones favorables a que haya en los masteres de investigación y en el master de profesor algunos créditos que puedan ser reconocidos de unos a otros, de modo que el estudiante no tenga que “empezar de cero” si quiere optar a las dos posibilidades pero siempre con la garantía de que no se desdibujen los objetivos propios de cada tipo de master.

    Finalmente queremos insistir en la importancia de la formación permanente del profesorado, que en términos de la convergencia europea se puede enunciar como “aprender durante toda la vida”. Por ello el master de profesor de secundaria es un primer paso necesario que deberá completarse con aprendizajes posteriores, tanto en aspectos didácticos como en la actualización de conocimientos matemáticos.

    RSME, Septiembre 2008.
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